Fonction dérivée

Définition

Soit  `f`  une fonction définie sur un intervalle  `I` .
On dit que  `f`  est dérivable sur  `I`  lorsque  `f` est dérivable en tout réel  `x`  de  `I` .
On appelle fonction dérivée de  `f`  sur  `I` , notée  \(f'\) , la fonction définie sur  `I`  par :  \(f':x\mapsto f'(x)\) .

Exemple

Soit  `f`  la fonction carré définie   pour tout `x` dans `\mathbbR` par `f(x)=x^2` et soit `a`  un réel.

Pour tout réel  `h`  non nul, on a `\tau_a(h)=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}`
c'est-à-dire `\tau_a(h)=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h` .
Ainsi  \(\lim_\limits{h\rightarrow0}\tau_a(h)=2a\)  
La fonction carrée est donc dérivable sur  `\mathbb(R)`  et sa fonction dérivée est la fonction définie sur  `\mathbb(R)`  par \(f'(x)=2x\) .